Упр.1.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

В данное предложение вместо многоточия вставьте один из пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»; докажите полученное утверждение:
а) для того чтобы многочлен $$f(x)$$ с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен $$x-x_0$$, $$x_0\in\mathbb{Z}$$, $$x_0\ne0$$, … , чтобы его свободный член делился без остатка на $$x_0$$;
б) для того чтобы свободный член многочлена $$f(x)$$ с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число $$x_0\ne0$$, … , чтобы $$x_0$$ был корнем многочлена $$f(x)$$.

Подробный ответ

а) Для того чтобы многочлен $$f(x)$$ с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен $$x-x_0$$, $$x_0\in \mathbb{Z},\ x_0\ne 0,$$ необходимо, чтобы его свободный член делился без остатка на $$x_0$$.

Действительно, если $$f(x)$$ делится на $$x-x_0$$, то $$x_0$$ — корень многочлена, значит,

$$f(x_0)=a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0=0.$$

Тогда

$$a_0=-(a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0),$$

то есть $$a_0$$ делится на $$x_0$$.

Но этого недостаточно: например, для многочлена $$f(x)=x^3+5$$ свободный член $$5$$ делится на $$5$$, однако при делении на $$x-5$$ остаток не равен нулю.

б) Для того чтобы свободный член многочлена $$f(x)$$ с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число $$x_0\ne 0,$$ достаточно, чтобы $$x_0$$ был корнем многочлена $$f(x)$$.

Если $$f(x_0)=0,$$ то

$$a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0+a_0=0,$$

откуда

$$a_0=-(a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots+a_1x_0).$$

Следовательно, $$a_0$$ делится на $$x_0$$.

Однако это не является необходимым: например, у многочлена $$f(x)=x^3+5$$ свободный член делится на $$5$$, но число $$5$$ не является его корнем.