Упр.1.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:
   а) $$x^6-5x^3+7$$;
   б) $$x^4-x+2$$.

а) Рассмотрим замену $$t=x^3.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-5t+7=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 7=25-28=-3.$$

Так как $$D<0,$$ квадратное уравнение не имеет действительных корней. Значит, и исходный многочлен $$x^6-5x^3+7$$ не имеет действительных корней.

б) Докажем, что

$$x^4-x+2>0$$

при всех действительных $$x.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x\le 2,$$ то $$x-2\le 0,$$ а значит

   $$x^4\ge 0>x-2,$$

   следовательно, $$x^4>x-2.$$

2. Если $$x>2,$$ то $$x^2>x>x-2,$$ а значит

   $$x^4=(x^2)^2>x^2>x-2.$$

Итак, во всех случаях $$x^4>x-2,$$ поэтому

$$x^4-x+2>0.$$

Следовательно, многочлен $$x^4-x+2$$ не имеет действительных корней.

Ответ

а) Действительных корней нет; б) действительных корней нет.