Упр.1.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите действительные корни многочлена:
а) $$3x^4-5x^2+2$$;
б) $$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3$$.

а) Рассмотрим уравнение $$3x^4-5x^2+2=0.$$

Сделаем замену $$t=x^2.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$3t^2-5t+2=0.$$

Найдём его корни:

$$D=25-24=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}.$$

Отсюда

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac23.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$

$$x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac23}.$$

б) Рассмотрим уравнение $$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\bigl(x^5+3x^4-3x^3\bigr)+\bigl(-x^2-3x+3\bigr)=0.$$

Удобнее выделить множитель $$x-1$$:

$$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=(x-1)(x^4+4x^3+x^2-3).$$

Далее разложим многочлен на множители:

$$x^4+4x^3+x^2-3=(x^2+x+1)(x^2+3x-3).$$

Тогда

$$(x-1)(x^2+x+1)(x^2+3x-3)=0.$$

Из уравнения $$x^2+x+1=0$$ действительных корней нет, так как

$$D=1-4=-3<0.$$

Из уравнения $$x^2+3x-3=0$$ получаем

$$D=9+12=21,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{21}}{2}.$$

Также $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: а) $$-1,\;1,\;-\sqrt{\frac23},\;\sqrt{\frac23}$$; б) $$1,\;\frac{-3-\sqrt{21}}{2},\;\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$$.