Упр.1.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ заданный многочлен имеет кратные корни:
а) $$(2x+5)(3x-1)(x-a)(x-2a)$$;
б) $$(x^2-(3a-2)x-6a)(x^2-(5a+3)x+a)(x-2)$$?
Рассмотрим каждый множитель и найдём, при каких значениях параметра $$a$$ его корни совпадают.
а)
$$(2x+5)(3x-1)(x-a)(x-2a)$$
Корни множителей:
$$x=-\frac{5}{2},\quad x=\frac{1}{3},\quad x=a,\quad x=2a.$$
Кратный корень получится, если хотя бы два из этих корней совпадут:
$$a=-\frac{5}{2},\quad a=\frac{1}{3},\quad 2a=-\frac{5}{2},\quad 2a=\frac{1}{3},\quad a=2a.$$
Отсюда:
$$a=-\frac{5}{2},\quad a=\frac{1}{3},\quad a=-\frac{5}{4},\quad a=\frac{1}{6},\quad a=0.$$
б)
$$(x^2-(3a-2)x-6a)(x^2-(5a+3)x+a)(x-2)$$
Рассмотрим первый квадратный трёхчлен:
$$x^2-(3a-2)x-6a=0.$$
Его дискриминант:
$$D=(3a-2)^2+24a=9a^2+12a+4=(3a+2)^2.$$
Тогда корни:
$$x_{1,2}=\frac{(3a-2)\pm(3a+2)}{2},$$
то есть
$$x_1=-2,\quad x_2=3a.$$
Кратные корни возможны, если один из этих корней совпадает с корнем второго квадратного трёхчлена или с корнем $$x=2$$.
1) $$3a=-2$$, тогда $$a=-\frac{2}{3}.$$
2) Корень $$x=-2$$ совпадает с корнем второго трёхчлена:
$$(-2)^2-(5a+3)(-2)+a=0$$
$$4+10a+6+a=0$$
$$11a=-10$$
$$a=-\frac{10}{11}.$$
3) Корень $$x=3a$$ совпадает с корнем второго трёхчлена:
$$(3a)^2-(5a+3)\cdot 3a+a=0$$
$$9a^2-15a^2-9a+a=0$$
$$-6a^2-8a=0$$
$$2a(3a+4)=0.$$
Отсюда:
$$a=0 \quad \text{или} \quad a=-\frac{4}{3}.$$
4) Корень $$x=2$$ совпадает с корнем первого квадратного трёхчлена:
$$2^2-(3a-2)\cdot 2-6a=0$$
$$4-6a+4-6a=0$$
$$8-12a=0$$
$$a=\frac{2}{3}.$$
5) Корень $$x=2$$ совпадает с корнем второго квадратного трёхчлена:
$$2^2-(5a+3)\cdot 2+a=0$$
$$4-10a-6+a=0$$
$$-9a=2$$
$$a=-\frac{2}{9}.$$
Итак, в случае б) получаем:
$$a=-\frac{2}{3},\ -\frac{10}{11},\ 0,\ -\frac{4}{3},\ \frac{2}{3},\ -\frac{2}{9}.$$
Ответ
а) $$-\frac{5}{2},\ \frac{1}{3},\ -\frac{5}{4},\ \frac{1}{6},\ 0.$$
б) $$-\frac{2}{3},\ -\frac{10}{11},\ 0,\ -\frac{4}{3},\ \frac{2}{3},\ -\frac{2}{9}.$$
