Упр.1.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите значения параметра $$a$$, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:
а) $$3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a);$$
б) $$(ax^2+5x+1)(x^2-x-2);$$
в) $$(x^2-(a+1)x+a)(x^2-x-a);$$
г) $$(3x^2+x-a)(2x+a).$$
а) $$3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a)$$
Многочлен имеет корни $$x=-5,\; x=7,\; x=-1,\; x=a.$$
Чтобы корней было ровно три различных, число $$a$$ должно совпасть с одним из уже имеющихся корней:
$$a=-5,\; 7,\; -1.$$
б) $$(ax^2+5x+1)(x^2-x-2)$$
Разложим второй множитель:
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2).$$
Его корни: $$x=-1$$ и $$x=2.$$
Первый множитель должен дать ещё один корень, совпадающий с одним из этих двух, либо иметь двойной корень.
1) Если $$ax^2+5x+1=0$$ имеет двойной корень, то
$$D=25-4a=0,\qquad a=\frac{25}{4}.$$
2) Если корень совпадает с $$x=-1$$, то
$$a\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+1=0,$$
$$a-5+1=0,\qquad a=4.$$
3) Если корень совпадает с $$x=2$$, то
$$a\cdot 2^2+5\cdot 2+1=0,$$
$$4a+10+1=0,\qquad a=-\frac{11}{4}.$$
Итак,
$$a=-\frac{11}{4},\; 4,\; \frac{25}{4}.$$
в) $$(x^2-(a+1)x+a)(x^2-x-a)$$
Первый множитель раскладывается на множители:
$$x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).$$
Значит, его корни: $$x=1$$ и $$x=a.$$
Второй множитель:
$$x^2-x-a=0.$$
Чтобы всего было ровно три различных корня, нужно, чтобы один из корней второго трёхчлена совпал с $$1$$ или $$a$$, либо чтобы второй трёхчлен имел двойной корень.
1) Двойной корень:
$$D=1+4a=0,\qquad a=-\frac14.$$
2) Корень $$x=1$$:
$$1^2-1-a=0,\qquad a=0.$$
3) Корень $$x=a$$:
$$a^2-a-a=0,$$
$$a(a-2)=0,\qquad a=0 \text{ или } a=2.$$
С учётом различных значений параметра получаем:
$$a=-\frac14,\; 0,\; 2.$$
г) $$(3x^2+x-a)(2x+a)$$
Линейный множитель даёт корень
$$2x+a=0,\qquad x=-\frac a2.$$
Квадратный трёхчлен должен иметь два различных корня:
$$D=1+12a>0,\qquad a>-\frac1{12}.$$
Чтобы всего было ровно три различных корня, корень линейного множителя не должен совпадать с корнями квадратного трёхчлена. Проверим совпадение:
$$3\left(-\frac a2\right)^2+\left(-\frac a2\right)-a=0,$$
$$\frac{3a^2}{4}-\frac{3a}{2}=0,$$
$$3a^2-6a=0,$$
$$a(a-2)=0,$$
то есть $$a=0$$ или $$a=2.$$
Итак, нужно исключить эти значения, а также обеспечить $$D>0$$:
$$a\in\left(-\frac1{12},0\right)\cup(0,2)\cup(2,+\infty).$$
Ответ
а) $$-5,\; -1,\; 7$$; б) $$-\frac{11}{4},\; 4,\; \frac{25}{4}$$; в) $$-\frac14,\; 0,\; 2$$; г) $$\left(-\frac1{12},0\right)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)$$.
