Упр.1.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите утверждение: при любом натуральном значении $$n$$ многочлен $$p(x)=2x^n+4x^{n-1}-2^{n+2}$$ делится на $$x-2$$ без остатка.

   Используя это утверждение, докажите, что:

   а) $$2\cdot5^n+4\cdot5^{n-1}-2^{n+2}\mathrel{\vdots}3$$;

   б) $$2\cdot9^n+4\cdot9^{n-1}-2^{n+2}\mathrel{\vdots}7$$;

   в) $$2\cdot7^{100}+28\cdot7^{98}-2^{102}\mathrel{\vdots}5$$;

   г) $$2(n+3)^n+4(n+3)^{n-1}-2^{n+2}\mathrel{\vdots}(n+1)$$.

Рассмотрим многочлен

$$p(x)=2x^n+4x^{n-1}-2^{\,n+2}.$$

Докажем, что он делится на $$x-2$$ без остатка. Для этого достаточно проверить, что $$p(2)=0$$:

$$\begin{aligned} p(2)&=2\cdot 2^n+4\cdot 2^{n-1}-2^{\,n+2}\\ &=2^{n+1}+2^{n+1}-2^{n+2}\\ &=2^{n+2}-2^{n+2}=0. \end{aligned}$$

Значит, $$p(x)$$ делится на $$x-2$$.

Теперь используем это утверждение.

1. При $$x=5$$ получаем делимость на $$5-2=3$$:

   $$2\cdot 5^n+4\cdot 5^{n-1}-2^{\,n+2} \text{ делится на } 3.$$

2. При $$x=9$$ получаем делимость на $$9-2=7$$:

   $$2\cdot 9^n+4\cdot 9^{n-1}-2^{\,n+2} \text{ делится на } 7.$$

3. Заметим, что

   $$2\cdot 7^{100}+28\cdot 7^{98}-2^{102}=2\cdot 7^{100}+4\cdot 7^{99}-2^{102}.$$

   Это выражение имеет вид $$p(x)$$ при $$x=7$$ и $$n=100$$, значит, делится на $$7-2=5$$.

4. При $$x=n+3$$ получаем делимость на $$n+3-2=n+1$$:

   $$2(n+3)^n+4(n+3)^{n-1}-2^{\,n+2} \text{ делится на } n+1.$$

Ответ: выражения в пунктах а), б), в), г) делятся соответственно на $$3$$, $$7$$, $$5$$ и $$n+1$$.