Упр.1.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра $$a$$, при которых число $$x_0$$ является корнем многочлена $$p(x)=x^4-3x^3+x^2+ax-1$$: а) $$x_0=1$$; б) $$x_0=-3$$; в) $$x_0=2$$; г) $$x_0=0{,}5$$.

Для того чтобы число $$x_0$$ было корнем многочлена $$p(x)=x^4-3x^3+x^2+ax-1,$$ нужно, чтобы $$p(x_0)=0.$$

1. При $$x_0=1$$:

   $$p(1)=1-3+1+a-1=a-2.$$

   $$a-2=0,\quad a=2.$$

2. При $$x_0=-3$$:

   $$p(-3)=(-3)^4-3(-3)^3+(-3)^2-3a-1=81+81+9-3a-1=170-3a.$$

   $$170-3a=0,\quad 3a=170,\quad a=\frac{170}{3}=56\frac{2}{3}.$$

3. При $$x_0=2$$:

   $$p(2)=2^4-3\cdot 2^3+2^2+2a-1=16-24+4+2a-1=2a-5.$$

   $$2a-5=0,\quad 2a=5,\quad a=\frac{5}{2}=2{,}5.$$

4. При $$x_0=0{,}5$$:

   $$p(0{,}5)=0{,}5^4-3\cdot 0{,}5^3+0{,}5^2+0{,}5a-1.$$

   $$0{,}5^4=\frac{1}{16},\quad 0{,}5^3=\frac{1}{8},\quad 0{,}5^2=\frac{1}{4},$$

   $$p(0{,}5)=\frac{1}{16}-3\cdot\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+0{,}5a-1=-\frac{17}{16}+0{,}5a.$$

   $$-\frac{17}{16}+0{,}5a=0,\quad 0{,}5a=\frac{17}{16},\quad a=\frac{17}{8}=2{,}125.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$\frac{170}{3}$$; в) $$\frac{5}{2}$$; г) $$\frac{17}{8}$$.