Упр.1.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что остаток от деления многочлена $$f(x)$$ на двучлен $$(kx-p)$$, $$k\ne0$$, равен значению этого многочлена в точке $$x=\frac{p}{k}$$.

Разделим многочлен $$f(x)$$ на двучлен $$kx-p$$, где $$k\neq 0$$. Тогда по теореме о делении с остатком

$$f(x)=(kx-p)\,q(x)+r,$$

где $$q(x)$$ — частное, а $$r$$ — остаток от деления.

Подставим в это равенство $$x=\dfrac{p}{k}$$:

$$f\!\left(\dfrac{p}{k}\right)=\left(k\cdot \dfrac{p}{k}-p\right)q\!\left(\dfrac{p}{k}\right)+r.$$

Так как

$$k\cdot \dfrac{p}{k}-p=p-p=0,$$

то

$$f\!\left(\dfrac{p}{k}\right)=r.$$

Следовательно, остаток от деления многочлена $$f(x)$$ на двучлен $$kx-p$$ равен значению многочлена в точке $$x=\dfrac{p}{k}$$.

Ответ

$$r=f\!\left(\dfrac{p}{k}\right).$$