Упр.1.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите остаток от деления многочлена $$f(x)$$ на двучлен $$(x-a)$$ и значение $$f(x)$$ в точке $$x=a$$:
   а) $$f(x)=x^3-4x^2+3x+11,\quad a=-3$$;
   б) $$f(x)=x^7+3x^6-x^3-12x^2+1,\quad a=-2$$;
   в) $$f(x)=3x^4-x^2+x-31,\quad a=2$$;
   г) $$f(x)=2x^6-3x^5+2x^3-4x^2-2x+100,\quad a=-1$$.

Используем схему Горнера: остаток от деления многочлена $$f(x)$$ на двучлен $$x-a$$ равен значению $$f(a)$$.

1. $$f(x)=x^3-4x^2+3x+11,\quad a=-3$$

   $$\begin{aligned} f(-3)&=(-3)^3-4(-3)^2+3(-3)+11\\ &=-27-36-9+11\\ &=-61 \end{aligned}$$

   Значит, остаток равен $$-61$$, а $$f(-3)=-61$$.

2. $$f(x)=x^7+3x^6-x^3-12x^2+1,\quad a=-2$$

   $$\begin{aligned} f(-2)&=(-2)^7+3(-2)^6-(-2)^3-12(-2)^2+1\\ &=-128+192+8-48+1\\ &=25 \end{aligned}$$

   Значит, остаток равен $$25$$, а $$f(-2)=25$$.

3. $$f(x)=3x^4-x^2+x-31,\quad a=2$$

   $$\begin{aligned} f(2)&=3\cdot 2^4-2^2+2-31\\ &=48-4+2-31\\ &=15 \end{aligned}$$

   Значит, остаток равен $$15$$, а $$f(2)=15$$.

4. $$f(x)=2x^6-3x^5+2x^3-4x^2-2x+100,\quad a=-1$$

   $$\begin{aligned} f(-1)&=2(-1)^6-3(-1)^5+2(-1)^3-4(-1)^2-2(-1)+100\\ &=2+3-2-4+2+100\\ &=101 \end{aligned}$$

   Значит, остаток равен $$101$$, а $$f(-1)=101$$.

Ответ

а) $$-61$$; б) $$25$$; в) $$15$$; г) $$101$$.