Упр.1.27 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Пусть многочлен $$ax^3+bx^2+cx+d$$ тождественно равен многочлену $$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$. Выразите коэффициенты $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ через числа $$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$.
б) Пусть многочлен $$x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$ тождественно равен многочлену $$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$$. Выразите коэффициенты $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ через числа $$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$, $$x_4$$.
Распишем произведения по формуле Виета и сравним коэффициенты.
а)
$$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=a\bigl(x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3\bigr).$$
Тогда
$$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-a x_1x_2x_3.$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$b=-a(x_1+x_2+x_3),\qquad c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),\qquad d=-ax_1x_2x_3.$$
б)
$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$$
$$=\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)\bigl(x^2-(x_3+x_4)x+x_3x_4\bigr).$$
Перемножим и приведём подобные:
$$\begin{aligned} (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) &=x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3 \\ &\quad +(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 \\ &\quad -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x \\ &\quad +x_1x_2x_3x_4. \end{aligned}$$
Значит, если
$$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4),$$
то
$$a=-(x_1+x_2+x_3+x_4),$$
$$b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,$$
$$c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),$$
$$d=x_1x_2x_3x_4.$$
Ответ
а) $$b=-a(x_1+x_2+x_3),\quad c=a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3),\quad d=-ax_1x_2x_3.$$
б) $$a=-(x_1+x_2+x_3+x_4),\quad b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,$$
$$c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),\quad d=x_1x_2x_3x_4.$$
