Упр.1.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
1) Выполним деление многочлена $$f(x)=3x^4-2x^3+7x-3$$ на $$p(x)=x^2-3x-2$$:
$$3x^4-2x^3+7x-3=(x^2-3x-2)(3x^2+7x+27)+(102x+51).$$
Значит,
$$q(x)=3x^2+7x+27,\qquad r(x)=102x+51.$$
2) Здесь $$\deg f(x)=2<3=\deg p(x)$$, поэтому деление невозможно в виде $$f(x)=p(x)\cdot q(x)+r(x)$$ с условием $$\deg r(x)<\deg p(x)$$.
Следовательно, $$q(x)$$ и $$r(x)$$ не существуют.
3) Так как
$$12x^7-3x^5+6x^4-9x^2+33=3\bigl(4x^7-x^5+2x^4-3x^2+11\bigr),$$
то
$$q(x)=3,\qquad r(x)=0.$$
4) Аналогично,
$$4x^7-x^5+2x^4-3x^2+11=\frac13\bigl(12x^7-3x^5+6x^4-9x^2+33\bigr),$$
поэтому
$$q(x)=\frac13,\qquad r(x)=0.$$
5) Делим $$f(x)=x^4-7x^3+6x^2-5x-19$$ на $$p(x)=x-1$$:
$$x^4-7x^3+6x^2-5x-19=(x-1)(x^3-6x^2-5)-24.$$
Значит,
$$q(x)=x^3-6x^2-5,\qquad r(x)=-24.$$
6) Делим $$f(x)=x^4-7x^3+6x^2-5x-19$$ на $$p(x)=x+1$$:
$$x^4-7x^3+6x^2-5x-19=(x+1)(x^3-8x^2+14x-19).$$
Следовательно,
$$q(x)=x^3-8x^2+14x-19,\qquad r(x)=0.$$
7) Так как $$p(x)=7x-7=7(x-1)$$, то
$$x^4-7x^3+6x^2-5x-19=(7x-7)\cdot \frac17(x^3-6x^2-5)-24.$$
Отсюда
$$q(x)=\frac17(x^3-6x^2-5),\qquad r(x)=-24.$$
8) Делим $$f(x)=x^3-5x+3$$ на $$p(x)=3x-1$$:
$$x^3-5x+3=(3x-1)\left(\frac{x^2}{3}+\frac{x}{9}-\frac{44}{27}\right)+\frac{37}{27}.$$
Значит,
$$q(x)=\frac{x^2}{3}+\frac{x}{9}-\frac{44}{27},\qquad r(x)=\frac{37}{27}.$$
9) Делим $$f(x)=3x^5-2x^4+3x^3-7x^2+2x-1$$ на $$p(x)=3x-1$$:
$$3x^5-2x^4+3x^3-7x^2+2x-1=(3x-1)\left(x^4-\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{9}-\frac{55x}{27}-\frac{1}{81}\right)-\frac{82}{81}.$$
Следовательно,
$$q(x)=x^4-\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{9}-\frac{55x}{27}-\frac{1}{81},\qquad r(x)=-\frac{82}{81}.$$
Ответ
1) $$q(x)=3x^2+7x+27,\ r(x)=102x+51$$;
2) не существует;
3) $$q(x)=3,\ r(x)=0$$;
4) $$q(x)=\frac13,\ r(x)=0$$;
5) $$q(x)=x^3-6x^2-5,\ r(x)=-24$$;
6) $$q(x)=x^3-8x^2+14x-19,\ r(x)=0$$;
7) $$q(x)=\frac17(x^3-6x^2-5),\ r(x)=-24$$;
8) $$q(x)=\frac{x^2}{3}+\frac{x}{9}-\frac{44}{27},\ r(x)=\frac{37}{27}$$;
9) $$q(x)=x^4-\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{9}-\frac{55x}{27}-\frac{1}{81},\ r(x)=-\frac{82}{81}$$.
