Упр.1.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметров $$a$$ и $$b$$:

а) многочлен $$p(x)=x^4-3x^3+3x^2+ax+b$$ делится без остатка на многочлен $$t(x)=x^2-3x+2$$;

б) многочлен $$p(x)=x^4-2x^3+ax+2$$ делится без остатка на многочлен $$t(x)=x^2+x+b$$?

а) Если многочлен $$p(x)=x^4-3x^3+3x^2+ax+b$$ делится на $$t(x)=x^2-3x+2,$$ то остаток при делении должен быть равен нулю.

Выполним деление многочлена на многочлен:

$$x^4-3x^3+3x^2+ax+b=(x^2-3x+2)(x^2+1)+(a+3)x+(b-2).$$

Чтобы деление было без остатка, нужно, чтобы

$$\begin{cases} a+3=0,\\ b-2=0. \end{cases}$$

Отсюда

$$a=-3,\quad b=2.$$

б) Если многочлен $$p(x)=x^4-2x^3+ax+2$$ делится на $$t(x)=x^2+x+b,$$ то остаток при делении также должен быть равен нулю.

Пусть

$$x^4-2x^3+ax+2=(x^2+x+b)(x^2-3x+3-b)+R(x).$$

После приведения подобных членов остаток имеет вид

$$R(x)=(4b+a-3)x-(3-b)b+2.$$

Тогда

$$\begin{cases} 4b+a-3=0,\\ -(3-b)b+2=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$b^2-3b+2=0,$$

$$D=9-8=1,\quad b_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad b_2=\frac{3+1}{2}=2.$$

Тогда из первого уравнения:

при $$b=1$$ получаем $$a=3-4\cdot1=-1,$$

при $$b=2$$ получаем $$a=3-4\cdot2=-5.$$

Итак, возможны пары:

$$(a,b)=(-1,1)\quad \text{или}\quad (a,b)=(-5,2).$$

Ответ

а) $$a=-3,\ b=2.$$
б) $$a=-1,\ b=1$$ или $$a=-5,\ b=2.$$