Упр.1.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что многочлен $$p(x)=x^3+5x^2+3x-1$$ делится без остатка на многочлен $$q(x)=2x^2+8x-2$$.

б) Докажите, что многочлен $$t(x)=-5x^2+4x-4$$ является делителем многочлена $$l(x)=5x^4-9x^3-2x^2+4x-8$$.

Проверим деление многочленов с помощью деления столбиком.

а)

$$p(x)=x^3+5x^2+3x-1,\qquad q(x)=2x^2+8x-2.$$

Делим $$p(x)$$ на $$q(x)$$:

$$x^3+5x^2+3x-1 : (2x^2+8x-2)=0{,}5x+0{,}5$$

Проверка умножением:

$$(2x^2+8x-2)(0{,}5x+0{,}5)=x^3+5x^2+3x-1.$$

Остаток равен нулю, значит, $$p(x)$$ делится на $$q(x)$$ без остатка.

б)

$$l(x)=5x^4-9x^3-2x^2+4x-8,\qquad t(x)=-5x^2+4x-4.$$

Делим $$l(x)$$ на $$t(x)$$:

$$5x^4-9x^3-2x^2+4x-8 : (-5x^2+4x-4)=-x^2+x+2$$

Проверка:

$$(-5x^2+4x-4)(-x^2+x+2)=5x^4-9x^3-2x^2+4x-8.$$

Остаток равен нулю, следовательно, $$t(x)$$ является делителем многочлена $$l(x)$$.

Ответ

а) $$p(x)$$ делится на $$q(x)$$ без остатка.
б) $$t(x)$$ является делителем $$l(x)$$.