Упр.1.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Пусть $$p(x)$$ — многочлен степени $$k$$ и при всех значениях $$x$$ справедливо равенство $$p(-x)=-p(x)$$. Докажите, что: а) $$k$$ — нечётное натуральное число; б) коэффициенты многочлена $$p(x)$$ при чётных степенях $$x$$ равны нулю.

Подробный ответ

Пусть $$p(x)$$ — многочлен степени $$k$$ и для всех $$x$$ выполняется равенство $$p(-x)=-p(x).$$

Рассмотрим старший член многочлена. Если

$$p(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0,$$

то

$$p(-x)=a_k(-x)^k+a_{k-1}(-x)^{k-1}+\dots+a_1(-x)+a_0.$$

По условию

$$p(-x)=-p(x),$$

значит, многочлены $$p(-x)$$ и $$-p(x)$$ тождественно равны. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$.

Для чётных степеней получаем:

$$a_{2m}= -a_{2m},$$

откуда

$$a_{2m}=0.$$

Следовательно, все коэффициенты при чётных степенях $$x$$ равны нулю.

Теперь посмотрим на старшую степень. Если бы $$k$$ было чётным, то старший член $$a_kx^k$$ в выражении $$p(-x)$$ не изменил бы знак, а в $$-p(x)$$ он имел бы противоположный знак. Это невозможно при тождественном равенстве. Значит, $$k$$ не может быть чётным.

Итак, $$k$$ — нечётное натуральное число, а коэффициенты при чётных степенях равны нулю.