Упр.1.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$p(x)$$ — многочлен степени $$k$$ и при всех значениях $$x$$ справедливо равенство $$p(-x)=p(x)$$. Докажите, что: а) $$k$$ — чётное натуральное число или нуль; б) коэффициенты многочлена $$p(x)$$ при нечётных степенях $$x$$ равны нулю.

Пусть

$$p(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

По условию для всех $$x$$ выполняется равенство $$p(-x)=p(x).$$

Доказательство

Подставим вместо $$x$$ число $$-x$$:

$$p(-x)=a_k(-x)^k+a_{k-1}(-x)^{k-1}+\dots+a_1(-x)+a_0.$$

1) Если $$k$$ — нечётное, то

$$p(-x)=-a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}-\dots-a_1x+a_0.$$

Так как $$p(-x)=p(x)$$, получаем

$$a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0=-a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}-\dots-a_1x+a_0.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a_kx^k+2a_{k-2}x^{k-2}+\dots+2a_3x^3+2a_1x=0.$$

Следовательно,

$$a_k=a_{k-2}=\dots=a_3=a_1=0.$$

Но тогда старший коэффициент равен нулю, что невозможно для многочлена степени $$k$$. Значит, $$k$$ не может быть нечётным.

2) Если $$k$$ — чётное, то

$$p(-x)=a_kx^k-a_{k-1}x^{k-1}+\dots-a_1x+a_0.$$

Из равенства $$p(-x)=p(x)$$ получаем:

$$a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_1x+a_0=a_kx^k-a_{k-1}x^{k-1}+\dots-a_1x+a_0.$$

Тогда

$$2a_{k-1}x^{k-1}+2a_{k-3}x^{k-3}+\dots+2a_3x^3+2a_1x=0,$$

откуда

$$a_{k-1}=a_{k-3}=\dots=a_3=a_1=0.$$

Значит, в многочлене остаются только члены с чётными степенями:

$$p(x)=a_kx^k+a_{k-2}x^{k-2}+\dots+a_2x^2+a_0.$$

Итак, $$k$$ — чётное натуральное число или $$0$$, а коэффициенты при нечётных степенях $$x$$ равны нулю.

Ответ

$$k$$ — чётное натуральное число или $$0$$; коэффициенты при нечётных степенях $$x$$ равны нулю.