Упр.1.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть многочлены $$p(x)$$ и $$q(x)$$ тождественно равны.

а)

$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$

$$q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$$

Раскроем скобки:

$$\begin{aligned} q(x)&=a(x-x_1)(x^2-(x_2+x_3)x+x_2x_3)\\ &=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-a x_1x_2x_3. \end{aligned}$$

Сравнивая коэффициенты, получаем:

$$b=-(x_1+x_2+x_3)a,$$

$$c=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)a,$$

$$d=-(x_1x_2x_3)a.$$

б)

$$p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d,$$

$$q(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4).$$

Сгруппируем множители:

$$q(x)=\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)\bigl(x^2-(x_3+x_4)x+x_3x_4\bigr).$$

После раскрытия скобок:

$$\begin{aligned} q(x)=&\,x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3\\ &+\bigl(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\bigr)x^2\\ &-\bigl(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4\bigr)x\\ &+x_1x_2x_3x_4. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$a=-(x_1+x_2+x_3+x_4),$$

$$b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,$$

$$c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),$$

$$d=x_1x_2x_3x_4.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } b=-(x_1+x_2+x_3)a,\quad c=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)a,\quad d=-(x_1x_2x_3)a;\\ &\text{б) } a=-(x_1+x_2+x_3+x_4),\\ &\qquad b=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4,\\ &\qquad c=-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4),\\ &\qquad d=x_1x_2x_3x_4. \end{aligned}$$