Упр.1.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все значения параметров $$a$$ и $$b$$, при которых многочлены $$p(x)$$ и $$q(x)$$ тождественно равны:
   
   а) $$p(x)=2ax-(a+b),\quad q(x)=4x+(3a-b-8);$$
   
   б) $$p(x)=2x^2+x-(a+b)x+2b-a,\quad q(x)=-ax+2(x^2-b)+(1-b)(x^2+2x).$$

Чтобы многочлены были тождественно равны, должны совпадать коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$.

а)

$$p(x)=2ax-(a+b), \qquad q(x)=4x+(3a-b-8).$$

Сравним коэффициенты при $$x$$ и свободные члены:

$$2a=4,$$

откуда $$a=2.$$

Теперь приравняем свободные члены:

$$-(a+b)=3a-b-8.$$

Подставим $$a=2$$:

$$-(2+b)=6-b-8,$$

$$-2-b=-2-b.$$

Это верно при любом $$b$$.

Ответ: $$a=2,\; b\in \mathbb{R}.$$

б)

$$p(x)=2x^2+x-(a+b)x+2b-a,$$

$$q(x)=-ax+2(x^2-b)+(1-b)(x^2+2x).$$

Раскроем скобки в $$q(x)$$:

$$q(x)=-ax+2x^2-2b+(1-b)x^2+2(1-b)x.$$

Приведём подобные слагаемые:

$$q(x)=(3-b)x^2+(-a+2-2b)x-2b.$$

Теперь сравним коэффициенты:

$$2=3-b,$$

$$1-(a+b)=-a+2-2b,$$

$$2b-a=-2b.$$

Из первого уравнения:

$$b=1.$$

Из третьего:

$$2b-a=-2b,$$

$$4b=a,$$

значит при $$b=1$$ получаем $$a=4.$$

Проверка второго уравнения:

$$1-(4+1)=-4+2-2\cdot 1,$$

$$-4=-4.$$

Все условия выполнены.

Ответ: $$a=4,\; b=1.$$