Упр.1.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ многочлен $$(a^2-4)x^4-2x^3+(2a-1)x-4$$ будет:
а) приведённым многочленом;
б) многочленом четвёртой степени;
в) многочленом третьей степени;
г) принимать одинаковые значения в точках $$x=1$$ и $$x=-1$$?

Рассмотрим многочлен $$\left(a^2-4\right)x^4-2x^3+\left(2a-1\right)x-4.$$

1. Чтобы многочлен был приведённым, старший коэффициент должен быть равен $$1$$:

   $$a^2-4=1,$$

   $$a^2=5,$$

   $$a=\pm\sqrt5.$$

2. Чтобы многочлен был четвёртой степени, коэффициент при $$x^4$$ должен быть отличен от нуля:

   $$a^2-4\ne0,$$

   $$a^2\ne4,$$

   $$a\ne\pm2.$$

3. Чтобы многочлен был третьей степени, коэффициент при $$x^4$$ должен быть равен нулю:

   $$a^2-4=0,$$

   $$a^2=4,$$

   $$a=\pm2.$$

4. Найдём значения параметра, при которых многочлен принимает одинаковые значения при $$x=1$$ и $$x=-1$$:

   $$f(1)=\left(a^2-4\right)-2+\left(2a-1\right)-4=a^2+2a-11,$$

   $$f(-1)=\left(a^2-4\right)+2-\left(2a-1\right)-4=a^2-2a-5.$$

   Приравниваем:

   $$a^2+2a-11=a^2-2a-5,$$

   $$4a=6,$$

   $$a=\frac32.$$

Ответ: а) $$a=\pm\sqrt5$$; б) $$a\ne\pm2$$; в) $$a=\pm2$$; г) $$a=\frac32$$.