Упр.1.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Для многочлена $$p(x)$$ найдите степень, свободный член, старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму всех коэффициентов при чётных степенях переменной, сумму всех коэффициентов при нечётных степенях переменной:
а) $$p(x)=(x+1)^{17}-(x-1)^{17}$$;
б) $$p(x)=(x^2+x-2)^{35}(x^2-3x-4)^{15}-(x-1)^2(x^3+x+2)^{65}$$.
а) $$p(x)=(x+1)^{17}-(x-1)^{17}.$$
Степень многочлена равна $$16,$$ так как старшие члены $$x^{17}$$ сокращаются.
Свободный член:
$$p(0)=1^{17}-(-1)^{17}=1-(-1)=2.$$
Старший коэффициент: в разложении бинома старшие члены дают
$$17x^{16}-(-17x^{16})=34x^{16},$$
значит, старший коэффициент равен $$34.$$
Сумма всех коэффициентов:
$$p(1)=2^{17}-0^{17}=2^{17}.$$
Сумма коэффициентов при чётных степенях:
$$S_{\text{чёт}}=\frac{p(1)+p(-1)}{2}=\frac{2^{17}+2^{17}}{2}=2^{17}.$$
Сумма коэффициентов при нечётных степенях:
$$S_{\text{неч}}=\frac{p(1)-p(-1)}{2}=\frac{2^{17}-2^{17}}{2}=0.$$
б) $$p(x)=(x^2+x-2)^{35}(x^2-3x-4)^{15}-(x-1)^2(x^3+x+2)^{65}.$$
Найдём степень каждого множителя:
$$\deg\bigl((x^2+x-2)^{35}(x^2-3x-4)^{15}\bigr)=2\cdot 35+2\cdot 15=100,$$
$$\deg\bigl((x-1)^2(x^3+x+2)^{65}\bigr)=2+3\cdot 65=197.$$
Значит, степень многочлена $$p(x)$$ равна $$197.$$
Старший член второго слагаемого:
$$-(x-1)^2(x^3+x+2)^{65}\sim -x^2\cdot x^{195}=-x^{197},$$
поэтому старший коэффициент равен $$-1.$$
Свободный член:
$$p(0)=(-2)^{35}\cdot(-4)^{15}-( -1)^2\cdot 2^{65}=2^{35}\cdot 2^{30}-2^{65}=2^{65}-2^{65}=0.$$
Сумма всех коэффициентов:
$$p(1)=(1+1-2)^{35}(1-3-4)^{15}-(1-1)^2(1+1+2)^{65}=0.$$
Сумма коэффициентов при чётных степенях:
$$S_{\text{чёт}}=\frac{p(1)+p(-1)}{2}.$$
Вычислим $$p(-1):$$
$$p(-1)=((-1)^2-1-2)^{35}(((-1)^2-3(-1)-4)^{15}-( -1-1)^2((-1)^3+(-1)+2)^{65}=0.$$
Следовательно,
$$S_{\text{чёт}}=\frac{0+0}{2}=0.$$
Сумма коэффициентов при нечётных степенях:
$$S_{\text{неч}}=\frac{p(1)-p(-1)}{2}=\frac{0-0}{2}=0.$$
Ответ
а) $$n=16,$$ свободный член $$2,$$ старший коэффициент $$34,$$ сумма всех коэффициентов $$2^{17},$$ сумма коэффициентов при чётных степенях $$2^{17},$$ при нечётных степенях $$0.$$
б) $$n=197,$$ свободный член $$0,$$ старший коэффициент $$-1,$$ сумма всех коэффициентов $$0,$$ сумма коэффициентов при чётных степенях $$0,$$ при нечётных степенях $$0.$$
