Упр.1.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что:
   
   а) сумма всех коэффициентов при чётных степенях многочлена $$f(x)$$, записанного в стандартном виде, равна $$\frac{1}{2}\bigl(f(1)+f(-1)\bigr)$$;
   
   б) сумма всех коэффициентов при нечётных степенях многочлена $$f(x)$$, записанного в стандартном виде, равна $$\frac{1}{2}\bigl(f(1)-f(-1)\bigr)$$.

Пусть

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Обозначим через $$S_{\text{чёт}}$$ сумму коэффициентов при чётных степенях, а через $$S_{\text{неч}}$$ — сумму коэффициентов при нечётных степенях.

а)

Подставим в многочлен значения $$x=1$$ и $$x=-1$$:

$$f(1)=S_{\text{чёт}}+S_{\text{неч}},$$

$$f(-1)=S_{\text{чёт}}-S_{\text{неч}}.$$

Сложим эти равенства:

$$f(1)+f(-1)=2S_{\text{чёт}}.$$

Тогда

$$S_{\text{чёт}}=\frac{f(1)+f(-1)}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

б)

Вычтем второе равенство из первого:

$$f(1)-f(-1)=2S_{\text{неч}}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{неч}}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$$

Что и требовалось доказать.