Упр.1.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена $$p(x)$$:
   а) $$p(x)=(3x^2-x+1)^{17}+(x^3+5x+1)^{11}$$;
   б) $$p(x)=(x^6-2x+64)^3-(x^9+x^8-512)^2$$;
   в) $$p(x)=(81x^4-36x^2+4)^5-(9x^2-2)^{10}+(x-1)^{13}$$;
   г) $$p(x)=(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)(x^8-x^4-1)+(x-1)^{16}$$.

Найдём степень, старший коэффициент и свободный член каждого многочлена.

1. $$p(x)=(3x^2-x+1)^{17}+(x^3+5x+1)^{11}$$

   Степень первого слагаемого равна $$2\cdot 17=34,$$ второго — $$3\cdot 11=33.$$

   Значит, степень многочлена $$n=34.$$

   Старший член даёт первое слагаемое: $$\left(3x^2\right)^{17}=3^{17}x^{34},$$ поэтому старший коэффициент равен $$3^{17}.$$

   Свободный член:

   $$1^{17}+1^{11}=2.$$

2. $$p(x)=(x^6-2x+64)^3-(x^9+x^8-512)^2$$

   Степень первого слагаемого равна $$6\cdot 3=18,$$ второго — $$9\cdot 2=18.$$

   Старшие члены взаимно уничтожаются:

   $$x^{18}-x^{18}=0.$$

   Следующий по старшинству член имеет степень $$17,$$ значит, степень многочлена $$n=17.$$

   Старший коэффициент:

   $$-(1+1)=-2.$$

   Свободный член:

   $$64^3-512^2=8^6-8^9=0.$$

3. $$p(x)=(81x^4-36x^2+4)^5-(9x^2-2)^{10}+(x-1)^{13}$$

   Заметим, что

   $$81x^4-36x^2+4=(9x^2-2)^2.$$

   Тогда

   $$p(x)=(9x^2-2)^{10}-(9x^2-2)^{10}+(x-1)^{13}=(x-1)^{13}.$$

   Следовательно, $$n=13.$$

   Старший коэффициент равен $$1,$$ а свободный член:

   $$(-1)^{13}=-1.$$

4. $$p(x)=(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4-x^2+1)(x^8-x^4-1)+(x-1)^{16}$$

   Сначала перемножим первые два множителя:

   $$(x^2-x+1)(x^2+x+1)=(x^2+1)^2-x^2=x^4+x^2+1.$$

   Тогда

   $$p(x)=(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)(x^8-x^4-1)+(x-1)^{16}.$$

   Далее

   $$(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^4+1)^2-x^4=x^8+x^4+1.$$

   Значит,

   $$p(x)=(x^8+x^4+1)(x^8-x^4-1)+(x-1)^{16}.$$

   При перемножении старшие члены дают $$x^{16},$$ а из второго слагаемого тоже получается $$x^{16},$$ поэтому старшие члены складываются:

   $$x^{16}+x^{16}=2x^{16}.$$

   Следовательно, $$n=16,$$ старший коэффициент равен $$2.$$

   Свободный член:

   $$1\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)+(-1)^{16}= -1+1=0.$$

Ответ

а) $$n=34,$$ старший коэффициент $$3^{17},$$ свободный член $$2$$;
б) $$n=17,$$ старший коэффициент $$-2,$$ свободный член $$0$$;
в) $$n=13,$$ старший коэффициент $$1,$$ свободный член $$-1$$;
г) $$n=16,$$ старший коэффициент $$2,$$ свободный член $$0$$.