Упр.1.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Докажите, что свободный член многочлена $$p(x)$$ равен значению этого многочлена в точке $$x=0$$.
   б) Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена $$p(x)$$ равна $$p(1)$$.

Пусть дан многочлен

$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Ход решения

а) Подставим в многочлен значение $$x=0$$:

$$p(0)=a_n\cdot 0^n+a_{n-1}\cdot 0^{n-1}+\dots+a_1\cdot 0+a_0=a_0.$$

Значит, свободный член многочлена равен его значению при $$x=0$$.

б) Подставим в многочлен значение $$x=1$$:

$$p(1)=a_n\cdot 1^n+a_{n-1}\cdot 1^{n-1}+\dots+a_1\cdot 1+a_0.$$

Так как $$1^k=1$$ при любом натуральном $$k$$, получаем:

$$p(1)=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0.$$

Следовательно, сумма всех коэффициентов многочлена равна его значению при $$x=1$$.

Ответ

а) $$p(0)=a_0$$ — свободный член многочлена.
б) $$p(1)=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0$$ — сумма всех коэффициентов многочлена.