Упр.1.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

В многочлене $$p(x)$$ выполнили замену переменной $$x=y+a$$ и получили многочлен $$p_1(y)=p(y+a)$$. При каких значениях параметра $$a$$ многочлен $$p_1(y)$$ не содержит члена степени $$n$$, если:

• а) $$p(x)=2x^2+3x-6$$, $$n=1$$;
• б) $$p(x)=2x^3+3x^2-x+1$$, $$n=2$$;
• в) $$p(x)=(7-4x)(3x-5)$$, $$n=1$$;
• г) $$p(x)=(2x^2+3x)(x-1)$$, $$n=2$$?

Рассмотрим замену $$x=y+a.$$ Тогда $$p_1(y)=p(y+a).$$ Чтобы многочлен $$p_1(y)$$ не содержал члена степени $$n,$$ нужно, чтобы коэффициент при $$y^n$$ был равен нулю.

1. $$p(x)=2x^2+3x-6,\quad n=1.$$

   $$p_1(y)=2(y+a)^2+3(y+a)-6=2y^2+(4a+3)y+\dots$$

   Коэффициент при $$y$$ равен нулю:

   $$4a+3=0,$$

   $$a=-\frac34.$$

2. $$p(x)=2x^3+3x^2-x+1,\quad n=2.$$

   $$p_1(y)=2(y+a)^3+3(y+a)^2-(y+a)+1=2y^3+(6a+3)y^2+\dots$$

   Коэффициент при $$y^2$$ равен нулю:

   $$6a+3=0,$$

   $$a=-\frac12.$$

3. $$p(x)=(7-4x)(3x-5),\quad n=1.$$

   $$p_1(y)=(7-4(y+a))(3(y+a)-5).$$

   Раскроем скобки и выделим коэффициент при $$y$$:

   $$p_1(y)=\dots +(-12a+41)y+\dots$$

   Тогда

   $$-12a+41=0,$$

   $$a=\frac{41}{12}.$$

4. $$p(x)=(2x^2+3x)(x-1),\quad n=2.$$

   $$p_1(y)=\bigl(2(y+a)^2+3(y+a)\bigr)(y+a-1).$$

   Коэффициент при $$y^2$$ равен

   $$6a-1.$$

   Приравниваем его к нулю:

   $$6a-1=0,$$

   $$a=\frac16.$$

Ответ

а) $$-\frac34$$; б) $$-\frac12$$; в) $$\frac{41}{12}$$; г) $$\frac16$$.