Упр.1.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$:

а) коэффициент при $$x^2$$ в стандартном виде многочлена $$(x^2-3x+a)(x^2-ax+2)$$ равен $$0$$;

б) коэффициент при $$x^3$$ в стандартном виде многочлена $$(x^2-(a-1)x+a)(x^2+a^2x+2a)$$ равен $$7$$?

а) Раскроем скобки и найдём коэффициент при $$x^2$$:

$$(x^2-3x+a)(x^2-ax+2)=x^4-(a+3)x^3+(2+3a+a)x^2+\dots$$

Коэффициент при $$x^2$$ равен $$2+4a$$. По условию:

$$2+4a=0$$

$$4a=-2$$

$$a=-\frac12$$

б) Найдём коэффициент при $$x^3$$ в произведении:

$$(x^2-(a-1)x+a)(x^2+a^2x+2a)$$

Коэффициент при $$x^3$$ равен сумме произведений старшего члена одного многочлена на коэффициент при $$x$$ другого:

$$a^2-(a-1)=a^2-a+1$$

По условию:

$$a^2-a+1=7$$

$$a^2-a-6=0$$

$$(a-3)(a+2)=0$$

$$a=3 \quad \text{или} \quad a=-2$$

Ответ

а) $$-\frac12$$; б) $$-2,\ 3$$.