Упр.33 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$y=\frac{3x-x^2}{x^2-3x+4}$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(3-2x)(x^2-3x+4)-(3x-x^2)(2x-3)}{(x^2-3x+4)^2} $$
$$ y’=\frac{(3-2x)(x^2-3x+4)+(3x-x^2)(3-2x)}{(x^2-3x+4)^2} =\frac{(3-2x)\bigl(x^2-3x+4+3x-x^2\bigr)}{(x^2-3x+4)^2} =\frac{4(3-2x)}{(x^2-3x+4)^2} $$
Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется числителем:
$$ y’>0 \iff 3-2x>0 \iff x<\frac32 $$
Следовательно, функция возрастает при $$x<\frac32$$ и убывает при $$x>\frac32$$.
Критическая точка:
$$ x=\frac32 $$
Значение функции в этой точке:
$$ y\!\left(\frac32\right)=\frac{3\cdot \frac32-\left(\frac32\right)^2}{\left(\frac32\right)^2-3\cdot \frac32+4} =\frac{\frac92-\frac94}{\frac94-\frac92+4} =\frac{\frac94}{\frac74} =\frac97 $$
Нули функции:
$$ 3x-x^2=0 $$
$$ x(3-x)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=3 $$Область определения:
$$ x^2-3x+4\ne 0 $$
$$ D=9-16=-7<0 $$Значит, $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x\in \mathbb R$$, поэтому $$D(y)=\mathbb R$$.
Предел при $$x\to\infty$$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x-x^2}{x^2-3x+4} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac3x-1}{1-\frac3x+\frac4{x^2}} =-1 $$
Горизонтальная асимптота: $$y=-1$$.
б) $$y=(x+1)^2(x+2)$$
Найдём производную:
$$ y’=\bigl((x+1)^2\bigr)'(x+2)+(x+1)^2\cdot (x+2)’ $$
$$ y’=2(x+1)(x+2)+(x+1)^2 $$
$$ y’=(x+1)\bigl(2(x+2)+(x+1)\bigr)=(x+1)(3x+5) $$
Критические точки:
$$ (x+1)(3x+5)=0 $$
$$ x=-1,\quad x=-\frac53 $$Исследуем знак производной:
$$ y’>0 \text{ при } x<-\frac53 \text{ и } x>-1, \qquad y'<0 \text{ при } -\frac53<x<-1 $$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-\frac53)$$ и $$(-1,\infty)$$, убывает на $$(-\frac53,-1)$$.
Экстремумы:
$$ y\!\left(-\frac53\right)=\left(-\frac53+1\right)^2\left(-\frac53+2\right) =\left(-\frac23\right)^2\cdot \frac13 =\frac{4}{27} $$
$$ y(-1)=0 $$
Нули функции:
$$ (x+1)^2(x+2)=0 $$
$$ x=-1,\quad x=-2 $$
Ответ
а) $$D(y)=\mathbb R$$; функция возрастает при $$x<\frac32$$, убывает при $$x>\frac32$$; максимум $$y_{\max}=\frac97$$ при $$x=\frac32$$; нули $$x=0$$ и $$x=3$$; горизонтальная асимптота $$y=-1$$.
б) $$D(y)=\mathbb R$$; функция возрастает на $$(-\infty,-\frac53)$$ и $$(-1,\infty)$$, убывает на $$(-\frac53,-1)$$; максимум $$\frac{4}{27}$$ при $$x=-\frac53$$, минимум $$0$$ при $$x=-1$$; нули $$x=-2$$ и $$x=-1$$.
