Упр.32 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Найдём производную функции:

$$y=x^3+5x^2-8x+4$$

$$y’=3x^2+10x-8$$

Исследуем знак производной. Решим уравнение:

$$3x^2+10x-8=0$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot(-8)=100+96=196$$

$$x_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{2\cdot 3}$$

$$x_1=-4,\qquad x_2=\frac{2}{3}$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in\left(-4;\frac{2}{3}\right).$$

Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-4]$$ и $$\left[\frac{2}{3};+\infty\right)$$, а убывает на $$\left[-4;\frac{2}{3}\right].$$

Найдём экстремумы:

$$y(-4)=(-4)^3+5\cdot(-4)^2-8\cdot(-4)+4=-64+80+32+4=52$$

$$y\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3+5\left(\frac{2}{3}\right)^2-8\cdot\frac{2}{3}+4$$

$$y\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}+\frac{20}{9}-\frac{16}{3}+4=\frac{32}{27}$$

Следовательно, в точке $$x=-4$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=\frac{2}{3}$$ — минимум.

Ответ

Функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup\left[\frac{2}{3};+\infty\right)$$, убывает на $$\left[-4;\frac{2}{3}\right]$$.

$$x_{\max}=-4,\quad y_{\max}=52;$$

$$x_{\min}=\frac{2}{3},\quad y_{\min}=\frac{32}{27}=1\frac{5}{27}.$$