Упр.27 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$f(x)=3x^2-5x+12,\quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-5,$$
$$f'(1)=6\cdot 1-5=1.$$
Вычислим значение функции в точке $$x_0=1$$:
$$f(1)=3\cdot 1^2-5\cdot 1+12=10.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),$$
$$y=10+1(x-1)=x+9.$$
$$f(x)=\frac{x^3+x}{x^2-1},\quad x_0=2.$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(3x^2+1)(x^2-1)-(x^3+x)\cdot 2x}{(x^2-1)^2}.$$
Подставим $$x=2$$:
$$f'(2)=\frac{(3\cdot 2^2+1)(2^2-1)-2\cdot 2(2^3+2)}{(2^2-1)^2}$$
$$=\frac{13\cdot 3-4\cdot 10}{9}=\frac{39-40}{9}=-\frac19.$$
Найдём значение функции:
$$f(2)=\frac{2^3+2}{2^2-1}=\frac{10}{3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{10}{3}-\frac19(x-2)$$
$$y=-\frac19x+\frac{17}{9}.$$
$$f(x)=\frac{\sqrt{2x^2+1}}{x^3},\quad x_0=-2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\left(\sqrt{2x^2+1}\right)’x^3-\sqrt{2x^2+1}\cdot (x^3)’}{x^6}.$$
Так как
$$\left(\sqrt{2x^2+1}\right)’=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}},\quad (x^3)’=3x^2,$$
то
$$f'(x)=\frac{2x^4-3x^2(2x^2+1)}{x^6\sqrt{2x^2+1}}=\frac{-4x^4-3x^2}{x^6\sqrt{2x^2+1}}=\frac{-4x^2-3}{x^4\sqrt{2x^2+1}}.$$
Подставим $$x=-2$$:
$$f'(-2)=\frac{-4\cdot (-2)^2-3}{(-2)^4\sqrt{2\cdot (-2)^2+1}}=\frac{-16-3}{16\sqrt9}=-\frac{19}{48}.$$
Найдём значение функции:
$$f(-2)=\frac{\sqrt{2\cdot (-2)^2+1}}{(-2)^3}=\frac{\sqrt9}{-8}=-\frac38.$$
Уравнение касательной:
$$y=-\frac38-\frac{19}{48}(x+2)$$
$$y=-\frac{19}{48}x-\frac78.$$
$$f(x)=3-\frac{2}{\pi}\sin \pi x-\sqrt{x},\quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{\pi}\cdot \cos \pi x\cdot \pi-\frac{1}{2\sqrt{x}}=-2\cos \pi x-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Подставим $$x=1$$:
$$f'(1)=-2\cos \pi-\frac12=2-\frac12=\frac32.$$
Найдём значение функции:
$$f(1)=3-\frac{2}{\pi}\sin \pi-1=2.$$
Уравнение касательной:
$$y=2+\frac32(x-1)=\frac32x+\frac12.$$