Упр.20 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}-\frac13x^3,\quad x_0=-1.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-2)-(x^2-1)(x-2)’}{(x-2)^2}-x^2 $$
   $$ f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2-1)}{(x-2)^2}-x^2 $$
   $$ f'(x)=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2)^2}-x^2 =\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}-x^2 $$

   Подставим $$x=-1$$:

   $$ f'(-1)=\frac{(-1)^2-4\cdot(-1)+1}{(-1-2)^2}-(-1)^2 =\frac{1+4+1}{(-3)^2}-1 =\frac{6}{9}-1 =-\frac13 $$

2. б) $$f(x)=4\cos 2x-\ctg\frac{x}{2},\quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

   $$ f'(x)=4\cdot(-\sin 2x)\cdot 2+\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}}\cdot\frac12 $$
   $$ f'(x)=-8\sin 2x+\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}} $$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

   $$ f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right) =-8\sin\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2\sin^2\frac{\pi}{6}} =-8\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2\cdot\frac14} =-4\sqrt3+2 $$

3. в) $$f(x)=2\sin\frac{x}{2}+\cos 3x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   $$ f'(x)=2\cos\frac{x}{2}\cdot\frac12-\sin 3x\cdot 3 =\cos\frac{x}{2}-3\sin 3x $$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$ f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right) =\cos\frac{\pi}{4}-3\sin\frac{3\pi}{2} =\frac{\sqrt2}{2}-3\cdot(-1) =3+\frac{\sqrt2}{2} $$

4. г) $$f(x)=\frac{3x^3-1}{x+1}+\frac14x^4,\quad x_0=-2.$$

   $$ f'(x)=\frac{(3x^3-1)'(x+1)-(3x^3-1)(x+1)’}{(x+1)^2}+x^3 $$
   $$ f'(x)=\frac{9x^2(x+1)-(3x^3-1)}{(x+1)^2}+x^3 $$
   $$ f'(x)=\frac{9x^3+9x^2-3x^3+1}{(x+1)^2}+x^3 =\frac{6x^3+9x^2+1}{(x+1)^2}+x^3 $$

   Подставим $$x=-2$$:

   $$ f'(-2)=\frac{6\cdot(-2)^3+9\cdot(-2)^2+1}{(-2+1)^2}+(-2)^3 =\frac{-48+36+1}{(-1)^2}-8 =-11-8=-19 $$

Ответ

а) $$-\frac13$$; б) $$2-4\sqrt3$$; в) $$3+\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$-19$$.