Упр.18 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$y=2\sin^2 x$$
Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
$$0\le y\le 2.$$
Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Нули функции: $$2\sin^2 x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=2\sin^2(-x)=2\sin^2 x=f(x).$$
Период функции: $$T=\pi.$$
На каждом промежутке $$\left[\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$ функция возрастает, а на $$\left[\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi+\pi n\right]$$ убывает.
б) $$y=\frac{2\sin|x|}{\sin x}+x$$
Область определения: $$\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
Рассмотрим случаи:
если $$x>0,$$ то $$|x|=x$$ и
$$y=\frac{2\sin x}{\sin x}+x=2+x;$$
если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
$$y=\frac{2\sin(-x)}{\sin x}+x=\frac{-2\sin x}{\sin x}+x=x-2.$$
Значит,
$$ y= \begin{cases} x-2, & x<0,\\ x+2, & x>0, \end{cases} $$
при этом $$x\ne \pi n.$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty).$$
в) $$y=\frac{\cos x}{|\cos x|}\cdot x^2,\quad x\in\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$
Так как $$\frac{\cos x}{|\cos x|}=1$$ при $$\cos x>0$$ и $$\frac{\cos x}{|\cos x|}=-1$$ при $$\cos x<0,$$ то
$$ y= \begin{cases} x^2, & |x|<\frac{\pi}{2},\\ -x^2, & \frac{\pi}{2}<|x|<\frac{3\pi}{2}. \end{cases} $$
Область определения:
$$D(y)=\left(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$
Функция чётная, так как зависит от $$x^2$$ и от $$|\cos x|.$$
Нуль функции: $$x=0.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ график — парабола $$y=x^2,$$ а вне этого промежутка — парабола $$y=-x^2.$$
г) $$y=\frac12\cos^2 2x$$
Так как $$0\le \cos^2 2x\le 1,$$ то
$$0\le y\le \frac12.$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb{R}.$$
Функция чётная, поскольку
$$f(-x)=\frac12\cos^2(-2x)=\frac12\cos^2 2x=f(x).$$
Период функции: $$T=\frac{\pi}{2}.$$
Нули функции:
$$\frac12\cos^2 2x=0 \Rightarrow \cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Максимум равен $$\frac12,$$ он достигается при $$\cos 2x=\pm 1,$$ то есть при $$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb{Z}.$$
На каждом промежутке $$\left[-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi n}{2}\right]$$ функция возрастает, а на $$\left[\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right]$$ убывает.
Ответ
а) $$D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=[0;2],\quad T=\pi,$$ функция чётная, нули: $$x=\pi n.$$
б) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{\pi n\},\quad y= \begin{cases} x-2,& x<0,\\ x+2,& x>0 \end{cases}$$
, функция нечётная, $$E(y)=(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$
в) $$D(y)=\left(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right),$$
$$y= \begin{cases} x^2,& |x|<\frac{\pi}{2},\\ -x^2,& \frac{\pi}{2}<|x|<\frac{3\pi}{2} \end{cases}$$
, функция чётная, нуль: $$x=0.$$
г) $$D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=\left[0;\frac12\right],\quad T=\frac{\pi}{2},$$ функция чётная, нули: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
