Упр.16 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\cos 2x+(\sin x+\cos x)^2\cdot \tg x=\tg x\cdot(\tg x+1)$$

   Раскроем квадрат и используем формулы $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$, $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:

   $$ \cos 2x+(\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x)\tg x=\tg x(\tg x+1) $$

   $$ (1-2\sin^2 x)+(1+2\sin x\cos x)\tg x=\tg x(\tg x+1) $$

   $$ 1-2\sin^2 x+\tg x+2\sin^2 x=\tg x(\tg x+1) $$

   $$ 1+\tg x=\tg^2 x+\tg x $$

   $$ \tg^2 x=1 $$

   $$ \tg x=\pm 1 $$

   $$ x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$

   На отрезке $$\left[-\frac{7\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ получаем:

   $$ x=-\frac{7\pi}{4},\ -\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4} $$

2. $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-4x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2\frac{5x}{2}=0$$

   Используем формулу произведения в сумму:

   $$ \sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr) $$

   Тогда

   $$ \frac12\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)+\sin(-3x)\right)+\sin^2\frac{5x}{2}=0 $$

   $$ \frac12\cos 5x-\frac12\sin 3x+\frac{1-\cos 5x}{2}=0 $$

   $$ -\frac12\sin 3x+\frac12=0 $$

   $$ \sin 3x=1 $$

   $$ 3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$

   $$ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3} $$

   На отрезке $$[-\pi;\pi]$$:

   $$ x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} $$

Ответ

а) $$x=-\frac{7\pi}{4},\ -\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$.