Упр.15 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{|\sin x|}{\sin x}=1-\cos 2x.$$

Используем формулу $$1-\cos 2x=2\sin^2 x.$$ Тогда

$$\frac{|\sin x|}{\sin x}=2\sin^2 x.$$

Область определения: $$\sin x\ne 0.$$

Левая часть равна:

• $$1,$$ если $$\sin x>0;$$
• $$-1,$$ если $$\sin x<0.$$

Если $$\sin x>0,$$ то

$$1=2\sin^2 x,$$

$$\sin^2 x=\frac12,$$

$$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\sin x<0,$$ то

$$-1=2\sin^2 x,$$

что невозможно, так как правая часть неотрицательна.

Значит, решения уравнения:

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\cos x}{|\cos x|}=1-\sin 2x.$$

Область определения: $$\cos x\ne 0.$$

Левая часть равна:

• $$1,$$ если $$\cos x>0;$$
• $$-1,$$ если $$\cos x<0.$$

Если $$\cos x>0,$$ то

$$1=1-\sin 2x,$$

$$\sin 2x=0,$$

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Из условия $$\cos x>0$$ подходят только чётные значения $$n$$, поэтому

$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Если $$\cos x<0,$$ то

$$-1=1-\sin 2x,$$

$$\sin 2x=2,$$

что невозможно.

Следовательно, решения уравнения:

$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$