Упр.14 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$3\cos^2 x-2\sin 2x+\sin^2 x=0$$

   $$3\cos^2 x-4\sin x\cos x+\sin^2 x=0$$

   $$3-4\tg x+\tg^2 x=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-4t+3=0$$

   $$D=16-12=4$$

   $$t_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad t_2=\frac{4+2}{2}=3$$

   Следовательно,

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   $$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n$$

2. $$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$

   $$1+7\cos^2 x=6\sin x\cos x$$

   $$\sin^2 x+\cos^2 x+7\cos^2 x=6\sin x\cos x$$

   $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+8\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x\neq 0$$, поэтому делим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-6\tg x+8=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-6t+8=0$$

   $$D=36-32=4$$

   $$t_1=\frac{6-2}{2}=2,\qquad t_2=\frac{6+2}{2}=4$$

   Значит,

   $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n$$

   $$\tg x=4 \Rightarrow x=\arctg 4+\pi n$$

3. $$5\sin^2 x+5\sin x\cos x=3$$

   $$5\sin^2 x+5\sin x\cos x=3\sin^2 x+3\cos^2 x$$

   $$2\sin^2 x+5\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x\neq 0$$, поэтому делим на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg^2 x+5\tg x-3=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$2t^2+5t-3=0$$

   $$D=25+24=49$$

   $$t_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad t_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n$$

   $$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg \frac12+\pi n$$

4. $$\frac{1}{\cos x}+\sin x=7\cos x$$

   $$1+\sin x\cos x=7\cos^2 x$$

   $$\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x\cos x-7\cos^2 x=0$$

   $$\sin^2 x+\sin x\cos x-6\cos^2 x=0$$

   $$\cos^2 x\neq 0$$, поэтому делим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x+\tg x-6=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2+t-6=0$$

   $$D=1+24=25$$

   $$t_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad t_2=\frac{-1+5}{2}=2$$

   Значит,

   $$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n$$

   $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$x=\arctg 2+\pi n,\ \arctg 4+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
в) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \arctg \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
г) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.