Упр.13 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
$$2\cos^2 x-3\cos x+1=0.$$
Пусть $$t=\cos x,$$ тогда
$$2t^2-3t+1=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$t_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
Тогда
$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$4\sin^2\frac{x}{2}+8\cos\frac{x}{2}-7=0.$$
Используем формулу $$\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos^2\frac{x}{2}:$$
$$4-4\cos^2\frac{x}{2}+8\cos\frac{x}{2}-7=0,$$
$$4\cos^2\frac{x}{2}-8\cos\frac{x}{2}+3=0.$$
Пусть $$t=\cos\frac{x}{2},$$ тогда
$$4t^2-8t+3=0.$$
$$D=64-48=16,$$
$$t_1=\frac{8-4}{8}=\frac12,\qquad t_2=\frac{8+4}{8}=\frac32>1.$$
Подходит только $$\cos\frac{x}{2}=\frac12.$$ Тогда
$$\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$4\sin^2 x-2\cos^2 x-\sin x=0.$$
Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x:$$
$$4\sin^2 x-2(1-\sin^2 x)-\sin x=0,$$
$$6\sin^2 x-\sin x-2=0.$$
Пусть $$t=\sin x,$$ тогда
$$6t^2-t-2=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$t_1=\frac{1-7}{12}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{1+7}{12}=\frac23.$$
Следовательно,
$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$\sin x=\frac23 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$2\sin^2 3x-7\sin 3x-4=0.$$
Пусть $$t=\sin 3x,$$ тогда
$$2t^2-7t-4=0.$$
$$D=49+32=81,$$
$$t_1=\frac{7-9}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{7+9}{4}=4>1.$$
Подходит только $$\sin 3x=-\frac12.$$ Тогда
$$3x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; 2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
