Упр.10 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

$$\sin \frac{5a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}-\sin 3a\cdot \cos \frac{\pi}{3}-\frac14$$

Применим формулу произведения в сумму:
$$\sin x\cos y=\frac12\left(\sin(x+y)+\sin(x-y)\right).$$
Тогда
$$ \sin \frac{5a}{2}\cos \frac{a}{2} =\frac12\left(\sin 3a+\sin 2a\right). $$
Кроме того,
$$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12.$$

Подставим:
$$ \frac12\left(\sin 3a+\sin 2a\right)-\frac12\sin 3a-\frac14 =\frac12\sin 2a-\frac14. $$

Преобразуем:
$$ \frac12\sin 2a-\frac14 =\frac12\left(\sin 2a-\frac12\right) =\frac12\left(\sin 2a-\sin \frac{\pi}{6}\right). $$
Используем формулу разности синусов:
$$ \sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}. $$
Получаем
$$ \frac12\left(\sin 2a-\sin \frac{\pi}{6}\right) =\frac12\cdot 2\cos \frac{2a+\pi/6}{2}\sin \frac{2a-\pi/6}{2} =\cos\left(a+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{12}\right). $$

Если $$a=\frac{\pi}{4},$$ то
$$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}\right) =\cos \frac{\pi}{3}\cdot \sin \frac{\pi}{6} =\frac12\cdot \frac12=\frac14. $$

Ответ

$$\frac14$$