Упр.9.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = X 2/3: а) на отрезке [1; 8]; в) на луче [1; + бесконечность); б) на интервале: (3; 5); г) на полуинтервале (0; 1].
Функция $$y=x^{-\frac{2}{3}}$$ при $$x>0$$ убывает, так как показатель степени отрицательный.
На отрезке $$[1;8]$$ наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:
$$y(1)=1^{-\frac{2}{3}}=1,$$
$$y(8)=8^{-\frac{2}{3}}=(2^3)^{-\frac{2}{3}}=2^{-2}=\frac14.$$
Значит, $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}=\frac14.$$
На интервале $$\left(3;5\right)$$ функция убывает, но границы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому наибольшее и наименьшее значения не достигаются.
На луче $$[1;+\infty)$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=1.$$
При $$x\to+\infty$$ значение функции стремится к нулю, но нуля не достигает, значит наименьшего значения нет.
На полуинтервале $$\left(0;1\right]$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=1.$$
При $$x\to 0+$$ функция неограниченно возрастает, поэтому наименьшего значения нет.
Ответ
а) $$y_{\min}=\frac14,\; y_{\max}=1$$; б) наименьшего и наибольшего значений нет; в) $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет; г) $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет.
