Упр.9.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = X5/2: а) на луче [0; +бесконечность); в) на отрезке [1; 2]; б) на полуинтервале [1; 3); г) на полуинтервале (6; 8].

Функция $$y=x^{\frac{5}{2}}$$ при $$x\ge 0$$ монотонно возрастает, так как показатель степени $$\frac{5}{2}>0$$.

1. На луче $$[0;+\infty)$$ наименьшее значение достигается в левой границе:

   $$y(0)=0^{\frac{5}{2}}=0.$$

   Наибольшего значения на этом луче нет, так как функция не ограничена сверху.

2. На полуинтервале $$[1;3)$$ наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1^{\frac{5}{2}}=1.$$

   Наибольшего значения нет, так как точка $$x=3$$ не входит в промежуток.

3. На отрезке $$[1;2]$$ достаточно проверить концы отрезка:

   $$y(1)=1^{\frac{5}{2}}=1,$$

   $$y(2)=2^{\frac{5}{2}}=2^2\cdot 2^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}.$$

   Значит, $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}=4\sqrt{2}.$$

4. На полуинтервале $$ (6;8] $$ наибольшее значение достигается при $$x=8$$:

   $$y(8)=8^{\frac{5}{2}}=(2^3)^{\frac{5}{2}}=2^{\frac{15}{2}}=2^7\cdot 2^{\frac{1}{2}}=128\sqrt{2}.$$

   Наименьшего значения нет, так как точка $$x=6$$ не входит в промежуток.

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ нет; б) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}$$ нет; в) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}=4\sqrt{2};$$ г) $$y_{\min}$$ нет, $$y_{\max}=128\sqrt{2}.$$