Упр.9.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х1/4 : а) на отрезке [0; 1]; в) на интервале (2; 3); б) на луче [1; +бесконечность); г) на полуинтервале (5; 16].
Функция $$y=x^{\frac14}$$ определена при $$x\ge 0$$ и является возрастающей на своей области определения. Поэтому на отрезке или полуинтервале наименьшее и наибольшее значения ищем по концам, а на открытом интервале они могут не существовать.
На отрезке $$[0;1]$$:
$$y(0)=0^{\frac14}=0,$$
$$y(1)=1^{\frac14}=1.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
На луче $$[1;+\infty)$$:
Наименьшее значение достигается в левой границе:
$$y(1)=1^{\frac14}=1.$$
При $$x\to +\infty$$ функция не ограничена сверху, поэтому наибольшего значения нет.
На интервале $$\left(2;3\right)$$:
Концы интервала не входят в область рассмотрения, а функция возрастает. Значит, ни наименьшее, ни наибольшее значение не достигаются.
На полуинтервале $$\left(5;16\right]$$:
Правая граница входит в промежуток, поэтому
$$y(16)=16^{\frac14}=\sqrt[4]{16}=\sqrt{2}.$$
Левая граница не входит, значит наименьшее значение не достигается. Наибольшее значение равно $$\sqrt{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\sqrt{2}$$.
