Упр.9.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.6. Исследуйте степенную функцию на монотонность: а) у = х12; б) y = х -1/6 ; в) y = х-11; г) у = х1/7.
а) $$y=x^{12}$$
Найдём производную:
$$y’=(x^{12})’=12x^{11}.$$
При $$x>0$$ имеем $$y’>0$$, а при $$x<0$$ имеем $$y'<0$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
б) $$y=x^{-\frac16}$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(x^{-\frac16}\right)’=-\frac16x^{-\frac76}.$$
Так как при $$x>0$$ производная отрицательна, функция убывает на $$\left(0;+\infty\right).$$
в) $$y=x^{-11}$$
Область определения: $$x\neq 0.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(x^{-11}\right)’=-11x^{-12}.$$
Для всех $$x\neq 0$$ имеем $$x^{-12}>0$$, значит $$y'<0.$$ Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$\left(0;+\infty\right).$$
г) $$y=x^{\frac17}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(x^{\frac17}\right)’=\frac17x^{-\frac67}.$$
При $$x>0$$ производная положительна, значит функция возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$
Так как степень $$\frac17$$ нечётная, функция также возрастает на всей области определения, то есть на $$(-\infty;+\infty).$$
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; б) убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$; в) убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right)$$; г) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.
