Упр.9.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.5. Исследуйте степенную функцию на ограниченность: а) у = х8; б) у = х -3/4; в) у = х-5; г) р = х2/5.

Подробный ответ

а) $$y=x^8$$
Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Найдём производную:
$$y’=(x^8)’=8x^7.$$
При $$x<0$$ производная отрицательна, при $$x>0$$ положительна, значит, функция убывает на $$(-\infty,0]$$ и возрастает на $$[0,+\infty)$$.
Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=y(0)=0.$$
Следовательно, функция ограничена снизу.
б) $$y=x^{-\frac34}$$
Область определения: $$x>0$$.
Найдём производную:
$$y’=\left(x^{-\frac34}\right)’=-\frac34x^{-\frac74}.$$
Так как при $$x>0$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает на $$\left(0,+\infty\right)$$.
Кроме того,
$$\lim_{x\to+\infty}x^{-\frac34}=0.$$
Значит, функция ограничена снизу.
в) $$y=x^{-5}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Найдём производную:
$$y’=(x^{-5})’=-5x^{-6}.$$
При всех $$x\ne 0$$ производная отрицательна, значит, функция убывает на каждом из промежутков $$(-\infty,0)$$ и $$\left(0,+\infty\right)$$.
Но при $$x\to 0+$$ значение $$y\to +\infty$$, а при $$x\to 0-$$ значение $$y\to -\infty$$. Следовательно, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
г) $$y=x^{\frac25}$$
Так как показатель имеет чётный знаменатель, область определения: $$x\ge 0$$.
Найдём производную:
$$y’=\left(x^{\frac25}\right)’=\frac25x^{-\frac35}.$$
При $$x>0$$ производная положительна, значит, функция возрастает на $$\left(0,+\infty\right)$$.
Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=y(0)=0.$$
Следовательно, функция ограничена снизу.