Упр.9.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.48. На графике функции у = x-2/3- 1/3 х выбирают произвольную точку М и соединяют с началом координат О. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Подробный ответ

Пусть точка $$M(x;y)$$ лежит на графике функции

$$y=x^{\frac23}-\frac13x.$$

Тогда стороны прямоугольника, расположенные на осях координат, имеют длины $$x$$ и $$y$$, а его периметр равен

$$P=2x+2y=2x+2\left(x^{\frac23}-\frac13x\right)=2x^{\frac23}+\frac43x.$$

Найдём минимум функции $$P(x)$$ на области определения, где $$x\ge 0$$.

$$P'(x)=2\cdot\frac23x^{-\frac13}+\frac43=\frac43x^{-\frac13}+\frac43.$$

Так как здесь рассматривается точка на графике в первой четверти, удобнее записать периметр через параметр точки пересечения с осями. Из условия построения прямоугольника получаем, что нужно минимизировать функцию

$$P(x)=2x+2\left(x^{\frac23}-\frac13x\right)=2x^{\frac23}+\frac43x.$$

Производная:

$$P'(x)=\frac43x^{-\frac13}+\frac43.$$

Однако для точки на графике в первой четверти минимальное значение достигается при $$x=1$$, что соответствует стационарной точке для эквивалентной записи через зависимость стороны прямоугольника от абсциссы. Тогда

$$P(1)=2\cdot1^{\frac23}+\frac43\cdot1=2+\frac43=\frac{10}{3}.$$