Упр.9.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.47. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) у = 2/3х корень х — 2х, [1; 9];в) у = 2/3х корень х — 2х, (1; 9); б) y= 3/2 x2/3 — x, (0;8); г) y = 3/2х2/3 — х, [0; 8].
а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad [1;9]$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}-2=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка:
$$\sqrt{x}-2=0,\quad \sqrt{x}=2,\quad x=4.$$
Сравним значения функции в точке экстремума и на концах отрезка:
$$y(1)=\frac{2}{3}\cdot 1\cdot \sqrt{1}-2\cdot 1=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3},$$
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{8}{3}\cdot 2-8=-\frac{8}{3},$$
$$y(9)=\frac{2}{3}\cdot 9\cdot \sqrt{9}-2\cdot 9=18-18=0.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-\frac{8}{3},$$ наибольшее — $$0.$$
б) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad (0;8)$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad \sqrt[3]{x}=1,\quad x=1.$$
В точке $$x=1$$ функция принимает значение:
$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2/3}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$
На промежутке $$ (0;8) $$ наименьшее значение не достигается, так как при $$x\to 0+$$ имеем $$y\to 0,$$ но точка $$x=0$$ не входит в промежуток. Наибольшее значение равно $$\frac{1}{2}.$$
в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad (1;9)$$
Производная та же:
$$y'(x)=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка:
$$\sqrt{x}-2=0,\quad x=4.$$
Значение функции в этой точке:
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\cdot 4=-\frac{8}{3}.$$
Так как промежуток открытый, наибольшее значение не достигается.
г) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad [0;8]$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad x=1.$$
Считаем значения функции в точках $$0,$$ $$1$$ и $$8$$:
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2},$$
$$y(8)=\frac{3}{2}\cdot 8^{2/3}-8=\frac{3}{2}\cdot 4-8=6-8=-2.$$
Значит, наименьшее значение равно $$-2,$$ наибольшее — $$\frac{1}{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{2}$$; в) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\frac{1}{2}$$.
