Упр.9.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.46. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение: а) 2х5 + х3 + 5х — 80 = корень 3 степени 14 — 3х; б) корень 4 степени 10 + 3х = 74 — х5 — 3х3 — 8х.

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=2x^5+x^3+5x-80,$$

$$g(x)=\sqrt[3]{14-3x}.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=10x^4+3x^2+5>0,$$

значит, функция $$f(x)$$ строго возрастает на всей области определения.

Для второй функции:

$$g'(x)=-\frac{1}{\sqrt[3]{(14-3x)^2}}<0,$$

следовательно, $$g(x)$$ строго убывает.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение может иметь не более одного решения. Проверим $$x=2$$:

$$2\cdot 2^5+2^3+5\cdot 2-80=64+8+10-80=2,$$

$$\sqrt[3]{14-3\cdot 2}=\sqrt[3]{8}=2.$$

Значит, $$x=2$$ — решение уравнения.

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt[4]{10+3x},$$

$$g(x)=74-x^5-3x^3-8x.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=\frac{3}{4\sqrt[4]{(10+3x)^3}}>0,$$

поэтому $$f(x)$$ строго возрастает на области определения.

Для второй функции:

$$g'(x)=-5x^4-9x^2-8<0,$$

значит, $$g(x)$$ строго убывает.

Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=2$$:

$$\sqrt[4]{10+3\cdot 2}=\sqrt[4]{16}=2,$$

$$74-2^5-3\cdot 2^3-8\cdot 2=74-32-24-16=2.$$

Значит, $$x=2$$ — решение уравнения.

Ответ

а) $$2$$; б) $$2$$.