Упр.9.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.45. Постройте график уравнения: а) (3у + х)3 = 27х; б) (х + у)3 = х2.

а) $$\left(3y+x\right)^3=27x$$

Возведём в кубический корень:

$$3y+x=\sqrt[3]{27x}=3\sqrt[3]{x}$$

Тогда

$$y=\sqrt[3]{x}-\frac{x}{3}$$

Исследуем функцию $$y=\sqrt[3]{x}-\frac{x}{3}.$$ Она нечётная, так как

$$y(-x)=\sqrt[3]{-x}+\frac{x}{3}=-\sqrt[3]{x}+\frac{x}{3}=-y(x).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}-\frac13=\frac{1-\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

Критические точки определяются из условия

$$1-\sqrt[3]{x^2}=0,$$

откуда

$$\sqrt[3]{x^2}=1,\quad x=\pm1.$$

На промежутке $$-1<x<1$$ производная положительна, а при $$x<-1$$ и $$x>1$$ — отрицательна. Значит, в точке $$x=1$$ достигается максимум:

$$y(1)=1-\frac13=\frac23.$$

Нули функции:

$$\sqrt[3]{x}-\frac{x}{3}=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm3\sqrt3.$$

Для построения графика удобно отметить несколько точек:

График строится по этим точкам с учётом нечётности функции.

б) $$\left(x+y\right)^3=x^2$$

Тогда

$$x+y=\sqrt[3]{x^2},$$

откуда

$$y=\sqrt[3]{x^2}-x.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{2-3\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{x}}.$$

Производная равна нулю при

$$2-3\sqrt[3]{x}=0,$$

то есть

$$\sqrt[3]{x}=\frac23,\quad x=\frac{8}{27}.$$

На промежутке $$0<x<\frac{8}{27}$$ функция возрастает, а при $$x>\frac{8}{27}$$ убывает. В точке $$x=\frac{8}{27}$$ достигается максимум:

$$y\!\left(\frac{8}{27}\right)=\sqrt[3]{\left(\frac{8}{27}\right)^2}-\frac{8}{27}=\left(\frac23\right)^2-\frac{8}{27}=\frac{4}{27}.$$

Некоторые точки графика:

По этим точкам строится график функции $$y=\sqrt[3]{x^2}-x.$$

Ответ

а) $$y=\sqrt[3]{x}-\frac{x}{3}$$; нули функции: $$x=0,\; x=\pm3\sqrt3$$; максимум: $$\left(1;\frac23\right)$$.

б) $$y=\sqrt[3]{x^2}-x$$; максимум: $$\left(\frac{8}{27};\frac{4}{27}\right)$$.