Упр.9.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.44. Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и экстремум и постройте ее график: а) y= корень x — x;б)y= (x-1)/x;в)y= 1/ корень x +корень x;г)y=x корень x+2.
а) $$y=\sqrt{x}-x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$
Критическая точка:
$$1-2\sqrt{x}=0 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac14.$$
На $$[0;\frac14]$$ производная положительна, на $$[\frac14;+\infty)$$ отрицательна. Значит, функция возрастает на $$[0;\frac14]$$ и убывает на $$[\frac14;+\infty).$$
В точке $$x=\frac14$$ достигается максимум:
$$y\!\left(\frac14\right)=\frac12-\frac14=\frac14.$$
б) $$y=\frac{x-1}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Преобразуем функцию:
$$y=1-\frac1x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{x^2}>0 \quad (x\ne 0).$$
Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков области определения: $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty).$$ Экстремумов нет.
в) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-\frac{1}{2x^{3/2}}+\frac{1}{2x^{1/2}}=\frac{x-1}{2x^{3/2}}.$$
Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем:
$$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<1,\qquad y'(x)>0 \text{ при } x>1.$$
Значит, функция убывает на $$ (0;1] $$ и возрастает на $$ [1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y(1)=\frac{1}{\sqrt1}+\sqrt1=2.$$
г) $$y=x\sqrt{x+2}$$
Область определения: $$x\ge -2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\sqrt{x+2}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$
При $$x>-2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$3x+4=0 \Rightarrow x=-\frac43.$$
Тогда функция убывает на $$[-2;-\frac43]$$ и возрастает на $$[-\frac43;+\infty).$$
В точке $$x=-\frac43$$ достигается минимум:
$$y\!\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2}=-\frac43\sqrt{\frac23}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$
Ответ
а) возрастает на $$[0;\frac14]$$, убывает на $$[\frac14;+\infty)$$; максимум при $$x=\frac14$$, $$y_{\max}=\frac14$$.
б) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$; экстремумов нет.
в) убывает на $$ (0;1] $$, возрастает на $$ [1;+\infty)$$; минимум при $$x=1$$, $$y_{\min}=2$$.
г) убывает на $$[-2;-\frac43]$$, возрастает на $$[-\frac43;+\infty)$$; минимум при $$x=-\frac43$$, $$y_{\min}=-\frac{4\sqrt6}{9}$$.
