Упр.9.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.43. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) у = 2/3х корень х — 2х; б) у = 3/2 х2/3 — х.

а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x,$$ $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-2=\sqrt{x}-2.$$

Критическая точка:

$$y'(x)=0 \Rightarrow \sqrt{x}-2=0 \Rightarrow x=4.$$

Исследуем знак производной:

$$y'(x)<0 \text{ при } 0\le x<4,$$

$$y'(x)>0 \text{ при } x>4.$$

Значит, функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$

В точке $$x=4$$ достигается минимум:

$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{2}{3}\cdot 8-8=\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{8}{3}.$$

б) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,$$ $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$

Для исследования знака производной при $$x>0$$ решим неравенство:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1\ge 0 \Rightarrow \frac{1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\ge 0.$$

Так как $$x>0,$$ то $$\sqrt[3]{x}>0,$$ и знак дроби определяется числителем:

$$1-\sqrt[3]{x}\ge 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x}\le 1 \Rightarrow 0<x\le 1.$$

Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$

В точке $$x=1$$ достигается максимум:

$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2/3}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty);$$ $$x=4$$ — точка минимума, $$y_{\min}=-\frac{8}{3}.$$

б) функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty);$$ $$x=1$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$