Упр.9.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.42. а) Составьте уравнение той касательной к графику функции у = х2/3 + 2/3, которая отсекает от осей координат треугольник площадью 0,75. б) Составьте уравнение той касательной к графику функции у = x корень 3 степени х, которая отсекает от осей координат треугольник площадью 1/24.

Подробный ответ

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x=a$$.
а) Для функции $$y=x^{\frac23}+\frac23$$ имеем
$$y(a)=a^{\frac23}+\frac23,\qquad y'(a)=\frac23a^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=a^{\frac23}+\frac23+\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}(x-a).$$
Найдём отрезки, отсекаемые касательной на осях координат.
При $$x=0$$:
$$y_0=a^{\frac23}+\frac23-\frac{2a}{3\sqrt[3]{a}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+2}{3}.$$
При $$y=0$$:
$$\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}x+\frac{\sqrt[3]{a^2}+2}{3}=0,$$
откуда
$$x_0=-\frac{a+2\sqrt[3]{a}}{2}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12|x_0|\,|y_0|=\frac12\cdot \frac{a+2\sqrt[3]{a}}{2}\cdot \frac{\sqrt[3]{a^2}+2}{3}=\frac34.$$
Положим $$t=\sqrt[3]{a}$$. Тогда $$a=t^3$$, $$\sqrt[3]{a^2}=t^2$$, и получаем
$$\frac{(t^3+2t)(t^2+2)}{12}=\frac34,$$
то есть
$$t^5+4t^3+4t=9.$$
Подходит $$t=1$$, значит $$a=1$$.
Тогда
$$y=1^{\frac23}+\frac23+\frac{2}{3\cdot 1}(x-1)=\frac23x+1.$$
б) Для функции $$y=x\sqrt[3]{x}=x^{\frac43}$$ имеем
$$y(a)=a^{\frac43},\qquad y'(a)=\frac43a^{\frac13}=\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=a^{\frac43}+\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}(x-a).$$
Упростим:
$$y=\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}x-\frac{a^{\frac43}}{3}.$$
При $$x=0$$:
$$y_0=-\frac{a^{\frac43}}{3}.$$
При $$y=0$$:
$$\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}x-\frac{a^{\frac43}}{3}=0,$$
откуда
$$x_0=\frac{a}{4}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12|x_0|\,|y_0|=\frac12\cdot \frac{a}{4}\cdot \frac{a^{\frac43}}{3}=\frac{1}{24}.$$
Следовательно,
$$a^{\frac73}=1,$$
откуда $$a=1$$.
Тогда касательная имеет вид
$$y=\frac43x-\frac13.$$