Упр.9.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.41. Проведите касательную к графику функции у — f(x) из данной точки М: а) f(x) = корень x, М(0; 1); б) f(х) = х3/2 + 4, М(0, 0).
а) $$f(x)=\sqrt{x}, \quad M(0;1).$$
Пусть $$a$$ — абсцисса точки касания. Тогда
$$ f(a)=\sqrt{a}, \qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}. $$
Уравнение касательной:
$$ y=f(a)+f'(a)(x-a)=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a). $$
Так как касательная проходит через точку $$M(0;1)$$, получаем
$$ 1=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(0-a)=\sqrt{a}-\frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2}. $$
Отсюда $$\sqrt{a}=2$$, значит $$a=4$$.
Тогда
$$ y=\sqrt{4}+\frac{1}{2\sqrt{4}}(x-4)=2+\frac14(x-4)=\frac14x+1. $$
б) $$f(x)=x^{\frac32}+4, \quad M(0;0).$$
Пусть $$a$$ — абсцисса точки касания. Тогда
$$ f(a)=a^{\frac32}+4, \qquad f'(x)=\frac32x^{\frac12}, \qquad f'(a)=\frac32\sqrt{a}. $$
Уравнение касательной:
$$ y=a^{\frac32}+4+\frac32\sqrt{a}(x-a). $$
Так как касательная проходит через точку $$M(0;0)$$, имеем
$$ 0=a^{\frac32}+4-\frac32a^{\frac32}=4-\frac12a^{\frac32}. $$
$$ a^{\frac32}=8, \qquad \sqrt{a^3}=8, \qquad a=4. $$
Подставим $$a=4$$:
$$ y=4^{\frac32}+4+\frac32\cdot 2(x-4)=8+4+3(x-4)=3x. $$
Ответ
а) $$y=\frac14x+1$$; б) $$y=3x$$.
