Упр.9.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.40. Проведите касательную к графику функции у = f(х), параллельную заданной прямой у = kx + m: a) f(x) = 4 корень 4 степени х, у = х — 2;б) f(х) = 1/x3 у = 5 — Зх.

а) Для функции $$f(x)=4\sqrt[4]{x}=4x^{1/4}$$ найдём производную:

$$f'(x)=4\cdot \frac14 x^{-3/4}=x^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}.$$

Так как касательная параллельна прямой $$y=x-2,$$ её угловой коэффициент равен $$1.$$ Тогда

$$f'(x)=1,$$

$$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=1 \;\Rightarrow\; \sqrt[4]{x^3}=1 \;\Rightarrow\; x=1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(1)=4\sqrt[4]{1}=4.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$

$$y=4+1\cdot(x-1)=x+3.$$

б) Для функции $$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$$ найдём производную:

$$f'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}.$$

Прямая $$y=5-3x$$ имеет угловой коэффициент $$-3,$$ значит,

$$f'(x)=-3,$$

$$-\frac{3}{x^4}=-3 \;\Rightarrow\; x^4=1 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$

Найдём точки касания:

$$f(1)=\frac{1}{1^3}=1,\qquad f(-1)=\frac{1}{(-1)^3}=-1.$$

Уравнения касательных:

$$y=1-3(x-1)=4-3x,$$

$$y=-1-3(x+1)=-4-3x.$$

Ответ

а) $$y=x+3.$$

б) $$y=4-3x,$$ $$y=-4-3x.$$