Упр.9.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.4. Исследуйте степенную функцию на четность: а) у = х10; б) у = х -1/3; в) у = х-15; г) у = х4/3.

Подробный ответ

Проверим, выполняется ли для функции равенство $$f(-x)=f(x)$$ (чётная) или $$f(-x)=-f(x)$$ (нечётная).

$$y=x^{10}$$
$$f(-x)=(-x)^{10}=x^{10}=f(x)$$
Следовательно, функция чётная.
$$y=x^{-\frac13}$$
Область определения: $$x\ne 0$$, то есть $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
$$f(-x)=(-x)^{-\frac13}=-x^{-\frac13}=-f(x)$$
Но область определения симметрична относительно нуля, значит функция нечётная.
$$y=x^{-15}$$
Область определения: $$x\ne 0$$, то есть $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
$$f(-x)=(-x)^{-15}=-x^{-15}=-f(x)$$
Следовательно, функция нечётная.
$$y=x^{\frac43}$$
$$f(-x)=(-x)^{\frac43}=\left(\sqrt[3]{-x}\right)^4=\left(-\sqrt[3]{x}\right)^4=x^{\frac43}=f(x)$$
Следовательно, функция чётная.