Упр.9.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.39. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: а) у = корень 3 степени 3х — 1, а = 3; в) у = (2х + 5)-1/2, а = 2; б) у = корень 3 степени 2 sin х, а = Пи/6; г) y = 1/корень 2 cosx, a= Пи/3.

1. а) $$y=\sqrt[3]{3x-1}, \quad a=3.$$

   Найдём значение функции и производной в точке $$x=3$$:

   $$ y(3)=\sqrt[3]{3\cdot 3-1}=\sqrt[3]{8}=2, $$
   $$ y'(x)=\frac{1}{3}(3x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 3=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}, $$
   $$ y'(3)=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{4}. $$

   Уравнение касательной:

   $$ y=y(3)+y'(3)(x-3)=2+\frac14(x-3)=\frac14x+\frac54. $$

2. б) $$y=\sqrt[3]{2\sin x}, \quad a=\frac{\pi}{6}.$$

   $$ y\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt[3]{2\sin\frac{\pi}{6}}=\sqrt[3]{1}=1, $$
   $$ y'(x)=\frac{1}{3}(2\sin x)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2\cos x =\frac{2\cos x}{3\sqrt[3]{(2\sin x)^2}}, $$
   $$ y’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{3\cdot 1}=\frac{\sqrt3}{3}. $$

   Тогда

   $$ y=1+\frac{\sqrt3}{3}\left(x-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt3}{3}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{18}. $$

3. в) $$y=(2x+5)^{-\frac12}, \quad a=2.$$

   $$ y(2)=(2\cdot 2+5)^{-\frac12}=9^{-\frac12}=\frac13, $$
   $$ y'(x)=-\frac12(2x+5)^{-\frac32}\cdot 2=-(2x+5)^{-\frac32}, $$
   $$ y'(2)=-9^{-\frac32}=-\frac1{27}. $$

   Уравнение касательной:

   $$ y=\frac13-\frac1{27}(x-2)=\frac{11}{27}-\frac1{27}x. $$

4. г) $$y=\frac{1}{\sqrt{2\cos x}}, \quad a=\frac{\pi}{3}.$$

   $$ y\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\cos\frac{\pi}{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1}}=1, $$
   $$ y'(x)=\left(2\cos x\right)^{-\frac12}{}’= -\frac12(2\cos x)^{-\frac32}\cdot(-2\sin x) =\frac{\sin x}{(2\cos x)^{\frac32}}, $$
   $$ y’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{1^{\frac32}}=\frac{\sqrt3}{2}. $$

   Тогда

   $$ y=1+\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{\sqrt3}{2}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{6}. $$

Ответ

а) $$y=\frac14x+\frac54;$$
б) $$y=\frac{\sqrt3}{3}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{18};$$
в) $$y=\frac{11}{27}-\frac1{27}x;$$
г) $$y=\frac{\sqrt3}{2}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{6}.$$